Toplam Sembolü

Eğer matematikle ilgileniyorsanız bu sembolü ve kurallarını bilmeniz sizin işinizi oldukça kolaylaştıracaktır. ∑ (Sigma) sembolünü ile gösterilir. Bir sayı dizisinin toplamını ifade eder. Matematiksel açıklaması şöyledir:

Örneğin:  \[ \sum_{i=1}^{10} i \]
Şeklindeki bir ifadeyi inceleyelim. Burada toplam sembolünün altındaki "\(1\)" başlangıç değeridir. "\(i\)" değişkendir. Sigmanın üstündeki "\(10\)" sayısı bitiş değerini belirtir. Bu ifadeyi açarsak: \( 1 + 2 + \dots+ 10 \) ifadesini elde ederiz.

Toplam Formülleri

\[ {\color{green}1} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} i = {n(n+1) \over 2} \]

\[ {\color{green}2} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} 2i = {n(n+1)  } \]

\[ {\color{green}3} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2 \]

\[ {\color{green}4} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} i^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} \]

\[ {\color{green}5} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} i^3 = {n(n+1) \over 2}^2 \]

\[ {\color{green}6} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} r^{i-1} = {1-r^n \over 1-r} , (r \neq 1) \]

\[ {\color{green}7} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} {1\over i(i+1)} = {n \over n+1} \]

Yukarıda verilen tüm formüller için \(i = 1\) olmalıdır. Eğer \(i \neq 1\) ise o zaman \(i \)'yi \(1\) yapmamız gerekiyor. Bunun için toplam sembolünün özellikleri vardır. Şimdi bunları inceleyelim.

Toplam Sembolünün Kullanımı İle İlgili Özellikler

1. Özellik:

\[ \color{blue} {\sum_{i=1}^{n} (a_i \pm b_i) = {\sum_{i=1}^{n} a_i} \pm {\sum_{i=1}^{n} b_i} } \]

Kanıt:  \[ \sum_{i=1}^{n} (a_i \pm b_i) = {(a_1 \pm b_1) + (a_2 \pm b_2) + \dots + (a_n \pm b_n)}\] \[ = {(a_1 + a_2 + \dots + a_n) \pm (b_1 + b_2 + \dots + b_n)} \] \[ = {\sum_{i=1}^{n} a_i} \pm {\sum_{i=1}^{n} b_i}\]

2. Özellik:

\[ \color{blue} {\sum_{i=1}^{n} c = {n \times c} } \]

Kanıt:  \[ \sum_{i=1}^{n} c = c + c + \dots + c = c \times n \]

(c'den n tane var.)

3. Özellik:

\[ \color{blue} {\sum_{i=1}^{n} c.a_i = {c.\sum_{i=1}^{n} a_i }} \]

Kanıt:  \[ \sum_{i=1}^{n} c.a_i = c.a_1 + c.a_2 + \dots + c.a_n \] \[ = c.(a_1 + a_1 + \dots + a_n) \] \[ = c.\sum_{i=1}^{n} a_i \]

4. Özellik:

\[ \color{blue} {\sum_{i=1}^{p} {a_i} + \sum_{i=p+1}^{n} {a_i} = {\sum_{i=1}^{n} a_i }} \]

Kanıt:  \[ \sum_{i=1}^{p} {a_i} + \sum_{i=p+1}^{n} {a_i} = a_1 + a_2 + \dots + a_p + a_{p+1} + a_{p+2} + \dots + a_n\] \[ = a_1 + a_2 + \dots + a_n \] \[ = \sum_{i=1}^{n} a_i \]

5. Özellik:

\[ \color{blue} {\sum_{i=p}^{n} {a_i} = \sum_{i=p-r}^{n-r} {a_i + r} = {\sum_{i=p+r}^{n+r} a_i - r}} \]

Kanıt:  \[ \sum_{i=p-r}^{n-r} {a_i + r} = a_{p-r+r} + a_{p-r+1+r} + \dots + a_{n-r+r}\] \[ = a_p + a_{p+1} + \dots + a_n = \sum_{i=p}^{n} {a_i} \] \[ \sum_{i=p+r}^{n+r} {a_i - r} = a_{p+r-r} + a_{p+r+1-r} + \dots + a_{n+r-r}\] \[ = a_p + a_{p+1} + \dots + a_n = \sum_{i=p}^{n} {a_i} \]

Yazımızı okuduğunuz için teşekkür ederiz...